Hace casi un mes que TioPetros está en silencio...

Quejarse no sirve de nada, así que he intentado escribir una miniserie
de dos posts, a ver qué os parece.

-·- Jorge Alonso -·-


****


Siguiente término de una sucesión (1/2)


Un conocido pasatiempo consiste en, dada una serie de números,
averiguar cuál es el siguiente, cumpliendo el orden lógico de la
serie.

Por ejemplo, si la serie es

1, 3, 5, 7, 9

el siguiente término es 11, ya que se trata de una sucesión de número
impares. El término general de esta serie puede escribirse como

f(n) = 2n - 1

valiendo n sucesivamente los valores 1, 2, 3, 4...

Otro ejemplo es

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

en el que cada término es la suma de los dos precedentes, comenzando
por 0 y 1. Puede expresarse esta serie como

f(0) = 0
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

Veamos un ejemplo más:

1, 1, 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16, 5

Parece más difícil, pero basta un truco para hayar la lógica: separar
la serie en dos, tomando términos alternos:

1, 2, 4, 8, 16

1, 2, 3, 4, 5

Por tanto, el siguiente término es 32. El término general es:

2^((n-1)/2) si n es impar

n/2 si n es par

Sin embargo, siempre puede encontrarse otra lógica distinta a los
números de la serie, con lo que el siguiente término sería otro
distinto. Y esto puede hacerse de forma que el siguiente término sea
el que nosotros queramos que sea.

Sea, por ejemplo, la sucesión

0, 1, e, pi

queremos que el siguiente término de la serie sea i, ¿cómo podremos
lograrlo?


****


Siguiente término de una sucesión (2/2)


En uno de sus libros, John Allen Paulos comenta de pasada un método
para hayar una ley matemática que haga que el siguiente término de la
sucesión sea el que queramos que sea. La clave se encuentra en que la
serie de partida es una serie finita.

Para evitar una explicación farragosa, partamos de una serie inicial
de tres términos

a, b, c

en la que queremos que el siguiente término sea d.

El término general será f(n); partamos de

f(n) = a + b + c

Cuando n = 1, esta expresión debe valer a, por lo que multiplicamos a
los valores b y c por unos ceros camuflados:

f(n) = a + b(n-1) + c(n-1)

Para n = 2, debe cumplirse que f(2) = b

f(n) = a(n-2) + b(n-1) + c(n-1)(n-2)

Y lo mismo para n = 3:

f(n) = a(n-2)(n-3) + b(n-1)(n-3) + c(n-1)(n-2)

Aún no hemos acabado, ya que, por ejemplo, para n = 2 no obtenemos
f(2) = b, sino

f(2) = b(2-1)(2-3)

por lo que hay que dividir cada término por factores correctores:

f(n) = a(n-2)(n-3)/(1-2)(1-3) +
+ b(n-1)(n-3)/(2-1)(2-3) +
+ c(n-1)(n-2)/(3-1)(3-2)

Ahora sí que hemos obtenido una expresión f(n) que cumple con los
términos iniciales. De forma análoga, podemos añadir nuestro nuevo
término d:

f(n) = a(n-2)(n-3)(n-4)/(1-2)(1-3)(1-4) +
+ b(n-1)(n-3)(n-4)/(2-1)(2-3)(2-4) +
+ c(n-1)(n-2)(n-4)/(3-1)(3-2)(3-4) +
+ d(n-1)(n-2)(n-3)/(4-1)(4-2)(4-3)

Sabiendo este truco matemático ya no habrá serie que se nos resista,
ni siquiera las que aparecen en los test de inteligencia.




______________________________________________
Renovamos el Correo Yahoo!
Nuevos servicios, más seguridad
http://correo.yahoo.es